Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Даже самые закоренелые скептики верят тому, что говорят им их чувства, но чувства легко обмануть.

Оптическая иллюзия - впечатление о видимом предмете или явлении, несоответствующее действительности, т.е. оптический обман зрения. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение». Это говорит о том, что иллюзии с давних времен интерпретировались как некие сбои в работе зрительной системы. Изучением причин их возникновения занимались многие исследователи.

Некоторые зрительные обманы давно уже имеют научное объяснение, другие до сих пор остаются загадкой.

сайт продолжает собирать самые крутые оптические иллюзии. Будьте осторожны! Некоторые иллюзии могут вызвать слезоточивость, головную боль и дезориентацию в пространстве.

Бесконечный шоколад

Если разрезать плитку шоколада 5 на 5 и переставить все куски в показанном порядке, то, откуда не возьмись, появится лишний шоколадный кусочек. То же самое вы можете проделать и с обычной шоколадкой и убедиться, что это не компьютерная графика, а реально существующая загадка.

Иллюзия брусков

Взгляните на эти бруски. В зависимости от того, в какой конец вы смотрите, два куска дерева будут или находиться рядом, или же один из них будет лежать на другом.

Куб и две одинаковые чашки

Оптическая иллюзия, созданная Крисом Уэстоллом. На столе стоит чашка, рядом с которой стоит куб с маленькой чашечкой. Однако при более детальном рассмотрении мы можем увидеть, что на самом деле куб нарисованный, и чашки абсолютно одинакового размера. Подобный эффект замечается только под определенным углом.

Иллюзия «Стена кафе»

Внимательно всмотритесь в изображение. На первый взгляд кажется, что все линии изогнуты, однако на самом деле они параллельны. Иллюзия была обнаружена Р. Грегори в кафе Wall в Бристоле . Отсюда и пошло ее название.

Иллюзия Пизанской башни

Выше вы видите две картинки Пизанской башни. На первый взгляд кажется, что башня справа наклоняется больше, чем башня слева, однако на самом деле обе эти картинки одинаковые. Причина кроется в том, что визуальная система рассматривает два изображения как часть единой сцены. Поэтому нам кажется, что обе фотографии не симметричны.

Исчезающие круги

Эта иллюзия называется «Исчезающие круги». Она состоит из 12 расположенных по кругу сиреневых розовых пятен с чёрным крестиком по середине. Каждое пятно исчезает по кругу примерно на 0.1 секунды, и если сфокусироваться на центральном крестике, можно получить следующий эффект:
1) сначала покажется, что вокруг бегает зелёное пятно
2) затем фиолетовые пятна начнут исчезать

Черно-белая иллюзия

Смотрите тридцать секунд на четыре точки в центре картинки, после чего переместите взгляд на потолок и поморгайте. Что вы увидели?

Прежде, чем подписаться на миссию по колонизации Марса, будьте готовы попрощаться с привычной концепцией спальни. В космическом путешествии привычная большая кровать с толстым матрасом и теплым одеялом — небывалая роскошь. Каждый лишний килограмм груза, отправленный в космос, стоит невероятно дорого: а потому инженеры идут на любые ухищрения, чтобы сделать предназначенные для дальних перелетов вещи легкими, удобными и функциональными. Это касается в первую очередь дизайна мебели и внутренних помещений, в которых колонистам придется жить на Красной планете.

IKEA на Марсе

Пустыня Юта — излюбленное место для симуляции марсианской поверхности: те же вездесущие песок и мелкая пыль, каменистый рельеф, такая же жара и сухость. Команда дизайнеров IKEA приехала сюда для того, чтобы за три дня разработать уникальный дизайн дома, который был бы одинаково актуален как на другой планете, так и на Земле.

В результате постройку решено было оформить в виде двухэтажного «цилиндра» шириной 33 фута (чуть больше 10 метров). Один из дизайнеров, Роберт Янсон, обратил внимание на то, что на практике во время жизни в таком пространстве люди начинают очень сильно ценить уединение. Классическая мебель в него совершенно не вписывается: к примеру, большую часть места занимали двухъярусные кровати, которые использовались только для сна — так что полезное пространство попросту «простаивало» в течение дня.

Так выглядит экспериментальное «марсианское поселение» дизайнеров IKEA в пустыне Юта

Как следствие, один из консультантов команды, Констанция Адамс, предложила отталкиваться от простой концепции: у каждого объекта должно быть как можно больше полезных функций — в противном случае миссия колонистов не сможет себе его позволить. Дизайнеры определили направление для целого ряда проектов: это и кровати, которые можно собрать, задвинуть в стену и при необходимости использовать лишь частично, в качестве детских кроваток; и «виртуальные» окна, которые не только обеспечат герметичность пространства, но и станут проекторами, демонстрирующими ролики с полезной информацией или просто видами родной Земли, чтобы в условиях изоляции у людей не развивалась депрессия.

Функциональность на первом месте

Не только IKEA озабочена вопросом космического дизайна будущего. Вдохновленный тем, что отправка груза на Марс обойдется в $2600 за 1 фунт (0,45 кг), шведский дизайнер Томас Миссе придумал сверхтонкие, складные «марсианские стулья» из углеродного волокна.

Легкие и прочные «марсианские» стулья

Кристина Лью из Лондона разработала коллекцию утилитарной одежды для космического быта. В нее входят, к примеру, скафандр, в котором можно принять душ, или халат с функцией вакуумной очистки. Конечно, они предназначены в первую очередь не для коммерческой реализации, а в качестве демонстрационных моделей, которые напоминают людям, что даже в упрощенном и скудном быте космических колонистов может быть место комфорту.

NASA тоже не осталось в стороне и попросило архитектурные фирмы подумать о том, какие здания можно возвести в условиях Красной планеты. Некоторые идеи, представленные в специальной программе 3D-Printed Habitat Challenge, выглядят как роскошные каюты какого-нибудь корабля. Первое место занял проект Mars Ice House — своеобразное четырехэтажное иглу (жилище эскимосов), с винтовой лестницей и комплексом частных и общественных помещений. Комнаты с изогнутыми стенами, по словам авторов, необходимы в первую очередь для того, чтобы создать иллюзию большого пространства.

Но, разумеется, все эти концепты не принесут никакой практической пользы, если инструменты и материалы, необходимые для их строительства, не отвечают строгим техническим требования к космическим перелетам. Более того, большая часть из них обязана оставаться в рабочем состоянии как в условиях невесомости, так и при марсианской микрогравитации (равной примерно 1/3 земной). Да и интерьеры самого корабля при необходимости должны иметь возможность быть использованными в качестве столов, стульев и прочих компонентов среды для работы и обитания.

Мир материалов

В том, что касается составных компонентов, земная мебель тоже сильно отличается от прототипов, предназначенных для космических путешествий. Пластмассы и синтетика, часто используемые на Земле, могут выделять ядовитые испарения, что особо опасно в бедной кислородом среде. Как ни странно, но, по мнению специалистов, натуральные материалы куда лучше подходят для внутренней отделки: шерсть, дерево и кожа — вот выбор колонизатора.

Дом для марсианских колонистов по версии проекта Mars Ice House

Филипп Сьюссман, один из дизайнеров IKEA, отмечает, что люди склонны испытывать куда более сильную эмоциональную привязанность к тем вещам, которые они собрали своими руками. К примеру, Круглый стол в замке короля Артура — это не просто символический, но и очень удачный с точки зрения психологического комфорта предмет мебели. Как и в его случае, мебель для колонизаторов следует проектировать так, чтобы дать каждому участнику экспедиции максимально равные и комфортные условия в сравнении с другими. Еще одна проблема, с которой могут столкнуться жители марсианских поселений — это высокий уровень шума, а потому более тесное соседство во время переговоров облегчит коммуникацию, позволив собеседникам лучше читать фразы друг друга по губам.

Заключение

В конечном итоге, все эти проекты могут оказаться полезны не только для Марса, но и для жителей Земли. Те же дизайнерские идеи помогут нам экономить пространство на родной планете (что в условиях всевозрастающей численности людей будет очень разумным шагом), а использование современных и нетоксичных материалов улучшит экологическую обстановку.

Рассказываем, как провести игры по методике Монтессори дома.

Все пространство монтессори-класса посвящено развитию сенсорного опыта. В первую очередь ребенку предлагают найти пары предметов, отличающиеся только по одному признаку, например высоте, длине или толщине. В других упражнениях он должен найти пары одинаковых предметов по весу, запаху, вкусу, температуре или издаваемому звуку. Позже ребенка просят по порядку организовать группу предметов на основе одного признака: например, по длине, высоте, оттенку цвета, форме и т.д.

Дети считают эти игры и загадки интересными, потому что они сложные именно настолько, чтобы разумно их стимулировать. Они также учат названия предметов — от геометрических форм до растений и животных.

Сегодня вас ждут 6 игр на определение цвета, формы и размера предметов, а также 4 занятия для развития тактильной чувствительности.

Занятия, которые мы предлагаем здесь, проще тех, которые практикуют в монтессори-школах, но основаны на тех же принципах. Многие предметы для них можно сделать самостоятельно, а возможно, они уже есть среди игрушек вашего малыша.

Сортировка предметов (2-5 лет)

Сортировка предметов по форме, цвету или другим физическим характеристикам — замечательное занятие, побуждающее детей внимательно рассматривать предметы и делать логический выбор. Нужны несколько наборов предметов, различающихся по форме, цвету и размеру. Будьте осторожны с мелкими объектами: маленький ребенок может их проглотить либо засунуть в нос или уши.

Хороший вариант — сортировка пуговиц. Купите или найдите дома несколько наборов из четырех и более одинаковых пуговиц. Смешайте их в большой миске, затем покажите ребенку, как можно выбрать одну пуговицу, отложить ее в миску поменьше и выбрать из большой миски все такие же.

Башня из кубиков (1,5-3 года)

Очень хорошее занятие для развития сенсорного опыта у детей — работа с деревянными кубиками разного размера. В монтессори-школах используются наборы под названием «Розовая башня». Можно купить набор деревянных кубиков, которые вставляются друг в друга по принципу матрешки и из которых тоже можно построить башню.

Пирамидка (2-4 года)

Есть много разновидностей этой игрушки, но обычно она состоит из основания с одним или несколькими стержнями и набора элементов. Задача ребенка — найти одинаковые элементы: например, квадраты, восьмиугольники и круги. Затем он должен отыскать самый большой элемент этой группы, надеть его на стержень и продолжить собирать пирамидку, пока она не будет готова. Если ребенок перепутает элементы местами, то сможет сам заметить ошибку: крупные детали будут выдаваться над более мелкими.

Простые пазлы (2-5 лет)

Выбирайте деревянные пазлы с привлекательными картинками. Избегайте картонных и тех, в которых элементы не подходят по размеру к рамке. Если ребенку еще не исполнилось 4 лет, выберите пазлы, где у каждого элемента есть ручка для держания.

Совмещение разноцветных табличек (3-5 лет)

В монтессори-школах используются готовые наборы разноцветных деревянных табличек, при помощи которых дети учатся различать основные цвета, тона и оттенки, а также узнают их названия. Таблички можно сделать самостоятельно.

Из табличек можно создать три отдельных набора цветов. В наборе элементы должны быть одного размера и отличаться только цветом.

Малышам можно начать с набора, содержащего 6 табличек трех цветов: по две желтые, красные и синие. Попросите ребенка совместить парные таблички и выучите с ним названия 3 основных цветов.

Когда ребенок освоит это задание, подготовьте набор табличек из 11 пар основных цветов и тонов: желтый, красный, синий, зеленый, оранжевый, фиолетовый, розовый, коричневый, серый, черный и белый. Предложите найти парные таблички и назвать цвета.

Чтобы усложнить задачу, создайте третий набор табличек, состоящий из 7 оттенков каждого из 9 цветов (желтый, красный, синий, зеленый, оранжевый, фиолетовый, розовый, коричневый, серый). Предложите ребенку расположить их по порядку от самого светлого до самого темного. Когда все таблички будут аккуратно выложены на подносе, у вас получится красивая демонстрация разных цветов.

Есть также много игр с такими табличками. Например, попросите ребенка найти табличку цвета, который ближе всего к цвету какого-то предмета в комнате. Еще один вариант: покажите ребенку табличку из третьего набора цветов и попросите его по памяти найти табличку с цветом, который на один тон светлее или темнее показанного вами.

Третий вариант — научить создавать более светлые или темные оттенки, добавляя белую или черную краску в основной цвет. Начав с основного цвета и понемногу добавляя белую краску, ребенок может создать набор оттенков от темного к светлому, похожий на набор из деревянных табличек.

Игра на внимание (3-5 лет)

Эта игра (ее еще называют мемори) поможет ребенку развить зрительную память и навыки узнавания. Ее можно купить в магазине или сделать самостоятельно. Нужно вырезать из тонкого картона 16 карточек размером со стандартную игральную карту. Нарисуйте или вырежьте два одинаковых набора из 8 разных геометрических форм. Можно использовать картинки с изображениями животных. На каждую карточку приклейте геометрическую фигуру или картинку. В результате у вас должен получиться набор из 16 карточек одного размера, состоящих из 8 пар с разными геометрическими фигурами или картинками.

Чтобы начать игру, перемешайте карточки и разложите их картинками вниз в форме квадрата. Первый игрок одновременно переворачивает 2 карточки. Если картинки на них совпадают, игрок забирает обе себе. Если нет, игрок переворачивает их картинками вниз. Каждый старается запомнить, где располагается какая карта, чтобы при следующем ходе перевернуть совпадающие карточки. Игра продолжается до тех пор, пока все карточки не совпадут.

Когда ребенок освоит игру, можно менять наборы карточек и усложнить задачу, добавив дополнительные пары карточек и не раскладывая их по рядам.

Выбор предметов с одинаковой текстурой (2-5 лет)

Эта игра подходит для развития тактильных ощущений. Вам понадобится набор деревянных квадратов или кругов, одна из поверхностей которых имеет отличающуюся текстуру. Создать ее можно, если нанести тонкий слой клея и приладить кусочек ткани, липучку, семена, песок или что-то еще. Предметы должны быть парными — чтобы текстура поверхности двух кругов или квадратов была одинаковой на ощупь. Если же их перевернуть, все они должны выглядеть одинаково.

Предложите ребенку с закрытыми или завязанными глазами «увидеть» предметы кончиками пальцев и найти парные. При переворачивании предметов ребенок сможет наглядно убедиться, насколько верным был его выбор.

Выбор одинаковых лоскутков (2-5 лет)

Еще один вариант упражнения — корзина с лоскутками разных видов тканей: шелк, шерсть, хлопок, твид и т.д.

Подготовьте парные лоскутки каждого вида. Попросите ребенка с закрытыми или завязанными глазами найти пары, одинаковые на ощупь, и положить их вместе на стол. Когда ребенок откроет глаза, он сможет увидеть, правильно ли он выбрал.

Дощечки с наждачной бумагой (3-5 лет)

Для этого упражнения нужен набор из 6 пар деревянных дощечек, на одну из поверхностей которых приклеена наждачная бумага с разной зернистостью. Задача — с закрытыми глазами на ощупь найти дощечки с одинаковой поверхностью. Когда ребенок соберет пары дощечек, то может перевернуть их и проверить правильность своего выбора. Парные дощечки выглядят одинаково.

«Волшебный мешочек» (3-6 лет)

Это одна из любимых детских игр . Обычно для нее нужен простой матерчатый мешочек или коробка с дыркой, куда ребенок может засунуть руку и пощупать предмет, который он не видит. Потребуется набор небольших предметов, хорошо знакомых малышу. Попросите его закрыть глаза и положите любой предмет в сумку или коробку. Пусть он на ощупь узнает, что это. Если он угадает, поменяйтесь ролями. Для детей постарше игру можно усложнить, используя, например, шишки, ракушки или геометрические фигуры.

Комментировать статью "10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага"

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Детские сады и центры развития ребенка, работающие по системе Монтессори, привлекают родителей тем, как здесь общаются с детьми, и не в последнюю очередь - Монтессори -материалами.

Монтессори. Учебные материалы и пособия. Монтессори. По работе сейчас изучаю эту методику. Вам дали дельный совет, про книжки, купите пару книжек, там написано, какие игры и т.д. Про то что материал дорог это реально так, конечно многое есть и дома, но надо...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Но ведь ребенок и в семье воспитывается. Семья. Беременность. Вы читали биографию Марии Монтессори?!выдержка:"В 1898 году у Монтессоpи pодился сын.

Монтессори. Образование. Ребенок от 3 до 7. Воспитание, питание, режим дня, посещение детского сада и взаимоотношения с воспитателями, болезни и физическое развитие И все эти пособия, игры и игрушки у нас шли на ура:) Моей по-крайней мере, оч.нравилось, да и мне тоже.

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Когда ребенок освоит игру, можно менять наборы карточек и усложнить задачу, добавив дополнительные пары карточек и не Дома тоже делаю похожие материалы - интересно как ребенок развивается.

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Выбор одинаковых лоскутков (2–5 лет). Дощечки с наждачной бумагой (3–5 лет). В других упражнениях он должен найти пары одинаковых предметов по весу, запаху, вкусу, температуре...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Методики раннего развития: Монтессори, Доман, кубики Зайцева, обучение чтению, группы, занятия с детьми. Это будет игра такая же, как и с другими кубиками, если не объяснять ничего и ге помогать.

против Монтессори. Методики раннего развития. (М. Монтессори, Помоги мне сделать это самому.). Но Тюленев и его последователи оказались в состоянии подступиться к ребенку и к возрасту трех лет его воспитанники уже печатают на пишущих машинках, ведут дневники: то...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Еще один вариант упражнения - корзина с лоскутками разных видов тканей: шелк, шерсть, хлопок, твид и т.д. Второй из игр, которые Никитин предлагает для самых маленьких, является "Рамки и...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Ребенок от 3 до 7. Воспитание, питание, режим дня, посещение детского сада и взаимоотношения с Может подскажите, раз у вас такой большой опыт в сортировке игрушек.

Нам методика Монтессори очень нравится! Мы правда сами дома по ней занимаемся, и пособия у нас самодельные, но то что моим детям У Никитиных, как они сами писали, много игр вдохновлено именно Монтессори. Сейчас ее методики переработаны, в них есть много...

Материалы Монтессори своими руками. Часто мамочки спрашивают чем заняться со своими малышами - покупные игры и игрушки надоели, а многие развивающие игры слишком дорого стоят.

Подскажите, пожалуйста, адрес интернет-магазина, где можно купить игры Монтессори с доставкой по России. А то в нашем мааааленьком городке продавцы игрушек удивленно спрашивают что это такое. :)) Заранее спасибо.

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. Выбор одинаковых лоскутков (2–5 лет). Дощечки с наждачной бумагой (3–5 лет). «Волшебный мешочек » (3–6 лет). Детские сады и центры развития ребенка, работающие по системе Монтессори...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. « Волшебный мешочек » (3–6 лет). Это одна из любимых. Обычно для нее нужен простой матерчатый мешочек или коробка с дыркой, куда ребенок может засунуть руку и пощупать предмет...

10 игр Монтессори у вас дома: пуговицы, лоскутки и наждачная бумага. идет набор в группу монтессори в государственном саду. Почему -то автор статьи скрывает имена российских авторов методик раннего развития и ничего не говорит об их результатах...

Игры Монтесори. Развитие, обучение. Ребенок от рождения до года. Кто-нибудь пробовал заниматься по Монтессори? Если да, где вы эти игры покупали?

Игры Зайцева, Монтессори можно купить в магазине, который расположен рядом с м. Павелецкая-кольцевая. Адрес: ул. Новокузнецкая, д. 32, стр. 2, 2 этаж. Часы работы: 10.00 - 18.00, выходной - воскресенье.

Где в Москве можно приобрести игры по Монтессори или вообще развивающие игры для ребенка дошкольного возраста. Но мы живем не в Москве, а будем проездом в конце месяца. А если заказать на какое-то число доставят ли игры в Королев?

24 декабря 2016 в 00:32

Какая фигура из одинаковых плоских предметов будет дальше всего выглядывать за край стола?

• Научно-популярное ,
• Логические игры

• Перевод

В ноябре журнал Quanta озадачил своих читателей вопросами, касающимися составления фигур из одинаковых плоских предметов (таких, как монеты или костяшки домино). В этой статье даны как вопросы, так и подробные ответы на них.

Вопрос 1

В классической задаче построения нависающей фигуры все блоки должны быть однородными, одинаковыми по размеру и форме, и их длина принимается за единицу. На каждом уровне фигуры может быть только один блок. Блоки нельзя соединять или склеивать. Если у вас есть пять таких блоков, на какую максимальную длину может высунуться конец верхнего блока за край стола, на котором они лежат? Можете ли вы вывести формулу для максимального нависания при использовании n блоков?

Физически задача требует сбалансировать крутящий момент фигуры с двух сторон края стола. Крутящий момент каждой стороны находится произведением массы этой стороны и расстояния от центра масс до края. Когда центр масс всей фигуры находится над краем, на обе её стороны действует одинаковый момент, и общий крутящий момент системы равен нулю. Для составного объекта общий крутящий момент для любой грани можно найти, сложив крутящие момент всех составных частей. Поэтому мы можем разделить и властвовать над изначальной задачей, рассматривая только изменения, происходящие при добавлении нового блока к существующей стопке, нечто вроде математической индукции (назовём это физической индукцией).

Рассмотрим стопку из n-1 блоков, каждый из которых весит одну единицу веса и имеет длину в одну единицу длины. Стопка сбалансирована на краю стола. Представьте, что линия взгляда направлена вдоль края стола, и стол слева – то есть, свисающие концы блоков высовываются вправо. Поскольку стопка сбалансирована на краю, центр масс находится прямо над краем, и её крутящий момент равен нулю. Теперь представим, что мы подняли всю стопку вертикально, и расположили ещё один блок под ней так, чтобы его правый край был вровень с краем стола. На практике это может оказаться сложным, но в мысленном эксперименте это просто.

Мы добавили немного стабильности стопке, добавив n-ный блок снизу, поскольку центр масс всей стопки немного сместился влево. Обозначим это смещение х. n блоков весят n единиц, и у них появился общий крутящий момент x*n вокруг края стола, направленный влево. Вспомним, что у стопки из n-1 блоков общий момент нулевой. Мы добавили только момент нового блока – массой в одну единицу массы и с расстоянием до центра масс от края стола в половину единицы длины.

Получается, что x*n = 1/2, а значит, x = 1/2n, где x – расстояние до нового центра масс от края стола.

Это значит, что если вы сдвинете всю стопку из n блоков вправо на 1/2n длины, она будет идеально сбалансирована на краю – и это максимально возможный сдвиг. Для завершения построения индукции отметим, что максимальный свес первого блока с края стола составляет 1/2 единицы длины.

Поэтому, для пяти блоков мы подставляем в формулу n для каждого уровня от 1 до пяти, чтобы получить максимальный свес:

X=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=137/120=1,141(6)
Видно, что если начать сверху и затем добавлять блоки вниз, каждый сдвиг составит половину от обратного количества имеющихся блоков. Такие последовательности из обратных чисел известны, как гармонические ряды. Такой ряд медленно расходится, и при устремлении n к бесконечности тоже стремится к бесконечности.

Общая формула суммы для n блоков получается суммированием всех членов ряда. Получается половина n-ного гармонического члена, который можно записать, как:

Вопрос 2

Представьте, что у вас есть те же пять блоков, и вы хотите поставить на самый верхний из них некое украшение, в точке, удалённой на четверть длины блока от свисающего конца. Все блоки весят по одной единице веса, а украшение весит одну пятую от блока. Какая теперь длина максимального нависания? Как это меняет основную формулу?

Сначала рассмотрим первый блок с украшением, стоящим на нём, и лежащий так, что его правый край находится на одном уровне с краем стола. Центр масс блока без украшения находится в половине единицы длины от края стола. Украшение сдвинет его вправо, допустим, на x. Масса украшения 1/5, а его расстояние от нового центра масс будет 1/4-х. Приравняем моменты и получим х = 1/5*(1/4-х), следовательно, х = 1/24. Из-за украшения необходимо подвинуть первый блок влево на 1/24 длины, поэтому максимальный свес составляет теперь 11/24 вместо 1/2.

Для последующих блоков можно применить ту же индукцию, что и в первом вопросе. Получаем уравнение х(n+1/5) = 1/2, которое для n блоков упрощается до 1/2(n+1/5). Это даёт нам последовательность 1/24 + 5/12 + 5/22 + 5/32 + 5/42…, что приводит к максимальному нависанию в 1,057 для пятиуровневой фигуры. Отметим, что нависание первого блока не укладывается в общую схему благодаря дополнительному весу украшения. Тем не менее, появляется простая гармоническая последовательность, через которую легко можно высчитать окончательную сумму.

Вопрос 3

Представьте, что вы соревнуетесь с другом в игре, в которой необходимо создавать нависающие структуры. Сначала у вас есть по одному блоку. Вы ставите свои блоки с любым нависанием от края стола. Затем вам выдают случайное, но одинаковое количество дополнительных блоков от одного до четырёх. Каждый ход начинается с изначального блока в качестве основы, положение которого потом менять нельзя, и с дополнительного набора от одного до четырёх блоков. Как сильно вам нужно вынести изначальный блок за край стола, чтобы у вас оказался максимально возможный свес после большого количества ходов?

Поскольку вероятность наличия от двух до пяти блоков одинакова, вам нужно максимизировать сумму, обозначающую максимальный свес для этих четырёх случаев. Для стопки из 2-5 блоков есть оптимальная позиция первого блока, дающая максимальный свес всей стопки. Если построить на графике наибольший свес для каждого из четырёх возможных размеров следующей стопки, получится два линейных графика и два графика в виде перевёрнутой V. Их вершины указывают оптимальную начальную позицию изначального блока для стопок из 3-4 блоков. Просуммировав графики, получим общий график свеса, резко меняющий направление в каждой из четырёх оптимальных позиций. Оказывается, что наилучший общий свес достигается в оптимальной позиции для трёх блоков, после которой график идёт вниз. Поэтому нужно располагать изначальный блок в предположении, что вам дадут три дополнительных блока, и свес составит 1/6 единицы длины.

Читатели указали несколько ограничений, запрещающих этому гипотетическому математическому мосту уходить в бесконечность: ветер, неравномерность, отсутствие бесконечной точности, эластичность или недостаточная твёрдость блоков и стола, и т.д. Это, конечно, правильно. К этому можно добавить кривизну Земли и отсутствие бесконечного пространства. Какое из этих ограничений быстрее всего обвалит нашу стопку? Для ответа на этот вопрос полезно изучить смежный с ним: если забыть о свесах с края и просто складывать блоки Jenga один на другой, математически ограничения на высоту башни нет. Но развалят её небольшие несовершенства в блоках и неточность в их построении, а роль последней соломинки сыграет вибрация или ветер. То же верно и для нашей свешивающейся фигуры. Если скорректировать все эти факторы, в какой-то момент сыграет и жёсткость блоков, когда нижние блоки немного искривятся и отойдут от горизонтали из-за общего крутящего момента всех блоков выше, что приведёт к соскальзыванию верхних блоков.

Я упоминал, что достичь наибольшего свеса можно, если допустить использование нескольких блоков на одном уровне. Как отметило несколько читателей, оптимальное решение этой задачи описано в работе 2009 года «Максимальный свес» [

В ноябре журнал Quanta озадачил своих читателей вопросами, касающимися составления фигур из одинаковых плоских предметов (таких, как монеты или костяшки домино). В этой статье даны как вопросы, так и подробные ответы на них.

Вопрос 1

В классической задаче построения нависающей фигуры все блоки должны быть однородными, одинаковыми по размеру и форме, и их длина принимается за единицу. На каждом уровне фигуры может быть только один блок. Блоки нельзя соединять или склеивать. Если у вас есть пять таких блоков, на какую максимальную длину может высунуться конец верхнего блока за край стола, на котором они лежат? Можете ли вы вывести формулу для максимального нависания при использовании n блоков?

Физически задача требует сбалансировать крутящий момент фигуры с двух сторон края стола. Крутящий момент каждой стороны находится произведением массы этой стороны и расстояния от центра масс до края. Когда центр масс всей фигуры находится над краем, на обе её стороны действует одинаковый момент, и общий крутящий момент системы равен нулю. Для составного объекта общий крутящий момент для любой грани можно найти, сложив крутящие момент всех составных частей. Поэтому мы можем разделить и властвовать над изначальной задачей, рассматривая только изменения, происходящие при добавлении нового блока к существующей стопке, нечто вроде математической индукции (назовём это физической индукцией).

Рассмотрим стопку из n-1 блоков, каждый из которых весит одну единицу веса и имеет длину в одну единицу длины. Стопка сбалансирована на краю стола. Представьте, что линия взгляда направлена вдоль края стола, и стол слева – то есть, свисающие концы блоков высовываются вправо. Поскольку стопка сбалансирована на краю, центр масс находится прямо над краем, и её крутящий момент равен нулю. Теперь представим, что мы подняли всю стопку вертикально, и расположили ещё один блок под ней так, чтобы его правый край был вровень с краем стола. На практике это может оказаться сложным, но в мысленном эксперименте это просто.

Мы добавили немного стабильности стопке, добавив n-ный блок снизу, поскольку центр масс всей стопки немного сместился влево. Обозначим это смещение х. n блоков весят n единиц, и у них появился общий крутящий момент x*n вокруг края стола, направленный влево. Вспомним, что у стопки из n-1 блоков общий момент нулевой. Мы добавили только момент нового блока – массой в одну единицу массы и с расстоянием до центра масс от края стола в половину единицы длины.

Получается, что x*n = 1/2, а значит, x = 1/2n, где x – расстояние до нового центра масс от края стола.

Это значит, что если вы сдвинете всю стопку из n блоков вправо на 1/2n длины, она будет идеально сбалансирована на краю – и это максимально возможный сдвиг. Для завершения построения индукции отметим, что максимальный свес первого блока с края стола составляет 1/2 единицы длины.

Поэтому, для пяти блоков мы подставляем в формулу n для каждого уровня от 1 до пяти, чтобы получить максимальный свес:

x=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=137/120=1,141(6)

Видно, что если начать сверху и затем добавлять блоки вниз, каждый сдвиг составит половину от обратного количества имеющихся блоков. Такие последовательности из обратных чисел известны, как гармонические ряды. Такой ряд медленно расходится, и при устремлении n к бесконечности тоже стремится к бесконечности.

Общая формула суммы для n блоков получается суммированием всех членов ряда. Получается половина n-ного гармонического члена, который можно записать, как:

Вопрос 2

Представьте, что у вас есть те же пять блоков, и вы хотите поставить на самый верхний из них некое украшение, в точке, удалённой на четверть длины блока от свисающего конца. Все блоки весят по одной единице веса, а украшение весит одну пятую от блока. Какая теперь длина максимального нависания? Как это меняет основную формулу?

Сначала рассмотрим первый блок с украшением, стоящим на нём, и лежащий так, что его правый край находится на одном уровне с краем стола. Центр масс блока без украшения находится в половине единицы длины от края стола. Украшение сдвинет его вправо, допустим, на x. Масса украшения 1/5, а его расстояние от нового центра масс будет 1/4-х. Приравняем моменты и получим х = 1/5*(1/4-х), следовательно, х = 1/24. Из-за украшения необходимо подвинуть первый блок влево на 1/24 длины, поэтому максимальный свес составляет теперь 11/24 вместо 1/2.

Для последующих блоков можно применить ту же индукцию, что и в первом вопросе. Получаем уравнение х(n+1/5) = 1/2, которое для n блоков упрощается до 1/2(n+1/5). Это даёт нам последовательность 1/24 + 5/12 + 5/22 + 5/32 + 5/42…, что приводит к максимальному нависанию в 1,057 для пятиуровневой фигуры. Отметим, что нависание первого блока не укладывается в общую схему благодаря дополнительному весу украшения. Тем не менее, появляется простая гармоническая последовательность, через которую легко можно высчитать окончательную сумму.

Вопрос 3

Представьте, что вы соревнуетесь с другом в игре, в которой необходимо создавать нависающие структуры. Сначала у вас есть по одному блоку. Вы ставите свои блоки с любым нависанием от края стола. Затем вам выдают случайное, но одинаковое количество дополнительных блоков от одного до четырёх. Каждый ход начинается с изначального блока в качестве основы, положение которого потом менять нельзя, и с дополнительного набора от одного до четырёх блоков. Как сильно вам нужно вынести изначальный блок за край стола, чтобы у вас оказался максимально возможный свес после большого количества ходов?

Поскольку вероятность наличия от двух до пяти блоков одинакова, вам нужно максимизировать сумму, обозначающую максимальный свес для этих четырёх случаев. Для стопки из 2-5 блоков есть оптимальная позиция первого блока, дающая максимальный свес всей стопки. Если построить на графике наибольший свес для каждого из четырёх возможных размеров следующей стопки, получится два линейных графика и два графика в виде перевёрнутой V. Их вершины указывают оптимальную начальную позицию изначального блока для стопок из 3-4 блоков. Просуммировав графики, получим общий график свеса, резко меняющий направление в каждой из четырёх оптимальных позиций. Оказывается, что наилучший общий свес достигается в оптимальной позиции для трёх блоков, после которой график идёт вниз. Поэтому нужно располагать изначальный блок в предположении, что вам дадут три дополнительных блока, и свес составит 1/6 единицы длины.

Читатели указали несколько ограничений, запрещающих этому гипотетическому математическому мосту уходить в бесконечность: ветер, неравномерность, отсутствие бесконечной точности, эластичность или недостаточная твёрдость блоков и стола, и т.д. Это, конечно, правильно. К этому можно добавить кривизну Земли и отсутствие бесконечного пространства. Какое из этих ограничений быстрее всего обвалит нашу стопку? Для ответа на этот вопрос полезно изучить смежный с ним: если забыть о свесах с края и просто складывать блоки Jenga один на другой, математически ограничения на высоту башни нет. Но развалят её небольшие несовершенства в блоках и неточность в их построении, а роль последней соломинки сыграет вибрация или ветер. То же верно и для нашей свешивающейся фигуры. Если скорректировать все эти факторы, в какой-то момент сыграет и жёсткость блоков, когда нижние блоки немного искривятся и отойдут от горизонтали из-за общего крутящего момента всех блоков выше, что приведёт к соскальзыванию верхних блоков.

Я упоминал, что достичь наибольшего свеса можно, если допустить использование нескольких блоков на одном уровне. Как отметило несколько читателей, оптимальное решение этой задачи описано в работе 2009 года «Максимальный свес» [Maximum Overhang , by Paterson, Peres, Thorup, Winker and Zwick]. Мне небольшие конструкции, сделанные по методике Патерсона-Цвика, напоминают зимородка. Большие выглядят как волшебные лампы. Для свеса в две единицы длины эти схемы в 2-3 раза эффективнее классических гармонических свесов, и достигают такого свеса при помощи 14 блоков вместо 32. К сожалению, их математика слишком сложна для данной статьи.